Aula Ângulos Notáveis - 2º ano Matemática

Trigonometria

Por Regivaldo S. Santos
Professor de Matemática

Seno, cosseno e tangente são os nomes dados às razões trigonométricas. Grande parte dos problemas que envolvem cálculos de distância é resolvida utilizando-se a trigonometria. E para isso, é muito importante compreender seus fundamentos, começando pelo triângulo retângulo.

As razões trigonométricas são também muito importantes, pois elas relacionam as medidas de dois lados do triângulo com um dos ângulos agudos, associando essa relação com um número real.

Seno, cosseno e tangente são relações estudadas em triângulos.


Veja mais: Identificando os quadrantes do ciclo trigonométrico

Características do triângulo retângulo

O triângulo retângulo é formado por um ângulo de 90° (ângulo reto). Os demais ângulos são menores que 90º, ou seja, são agudos, e, além disso, sabemos que os maiores lados estão sempre opostos aos maiores ângulos. No triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e está “à frente” do ângulo reto, os demais lados são chamados de catetos.

No triângulo acima, temos que os lados que medem c e b são os catetos, e o lado que mede a é a hipotenusa. Em todo triângulo retângulo, a relação conhecia como teorema de Pitágoras é válida.

a2 = b2 + c2        

Os catetos, daqui em diante, também receberão nomes especiais. As nomenclaturas dos catetos dependerão do ângulo de referência. Considerando o ângulo em azul na imagem acima, temos que o cateto que mede b é o cateto oposto, e o cateto que está ao lado do ângulo, ou seja, que mede c é o cateto adjacente.

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Seno

Antes de definir uma fórmula para o seno de um ângulo, vamos entender a ideia de seno. Imagine uma rampa, nela podemos determinar a razão entre a altura e o percurso, certo? Essa razão chamaremos de seno do ângulo α.

Assim,

sen α =   altura
             percurso


Cosseno

De maneira análoga à ideia do seno, temos o sentido do cosseno, entretanto, em uma rampa, o cosseno é a razão entre o afastamento em relação ao solo e o percurso na rampa.

Assim:

cos α = afastamento
              percurso


Tangente

Também de modo semelhante às ideias de seno e cosseno, a tangente é a razão entre a altura e o afastamento de uma rampa.

Assim:

tg α = altura
        afastamento

A tangente fornece-nos o índice de subida.

Leia também: Trigonometria em um triângulo qualquer

Relação entre seno, cosseno e tangente

De modo geral, podemos definir então seno, cosseno e tangente em um triangulo retângulo qualquer utilizando as ideias anteriores. Veja a seguir:

Tomando primeiramente o ângulo α como referencial, temos:

sen α =   Cateto oposto  =  c
                 Hipotenusa         a

cos α =   Cateto adjacente  =  b
                     Hipotenusa          a

tg α =   Cateto oposto       =     c
           Cateto adjacente           b

Tomando agora o ângulo β como referencial, temos:

sen β =   Cateto oposto  =  b
                Hipotenusa          a

cos β =   Cateto adjacente  =  c
                     Hipotenusa          a

tg β =   Cateto oposto       = b
            Cateto adjacente      c

Tabelas trigonométricas

Existem três valores de ângulos que devemos saber. São eles:

Os demais valores são dados nos enunciados dos exercícios ou podem ser conferidos na tabela seguinte, mas não se preocupe, não é necessário tê-los memorizados (exceto os da tabela anterior).

Ângulo  (°)	seno	cosseno	tangente		Ângulo (°)	seno	cosseno	tangente
1	0,017452	0,999848	0,017455		46	0,71934	0,694658	1,03553
2	0,034899	0,999391	0,034921		47	0,731354	0,681998	1,072369
3	0,052336	0,99863	0,052408		48	0,743145	0,669131	1,110613
4	0,069756	0,997564	0,069927		49	0,75471	0,656059	1,150368
5	0,087156	0,996195	0,087489		50	0,766044	0,642788	1,191754
6	0,104528	0,994522	0,105104		51	0,777146	0,62932	1,234897
7	0,121869	0,992546	0,122785		52	0,788011	0,615661	1,279942
8	0,139173	0,990268	0,140541		53	0,798636	0,601815	1,327045
9	0,156434	0,987688	0,158384		54	0,809017	0,587785	1,376382
10	0,173648	0,984808	0,176327		55	0,819152	0,573576	1,428148
11	0,190809	0,981627	0,19438		56	0,829038	0,559193	1,482561
12	0,207912	0,978148	0,212557		57	0,838671	0,544639	1,539865
13	0,224951	0,97437	0,230868		58	0,848048	0,529919	1,600335
14	0,241922	0,970296	0,249328		59	0,857167	0,515038	1,664279
15	0,258819	0,965926	0,267949		60	0,866025	0,5	1,732051
16	0,275637	0,961262	0,286745		61	0,87462	0,48481	1,804048
17	0,292372	0,956305	0,305731		62	0,882948	0,469472	1,880726
18	0,309017	0,951057	0,32492		63	0,891007	0,45399	1,962611
19	0,325568	0,945519	0,344328		64	0,898794	0,438371	2,050304
20	0,34202	0,939693	0,36397		65	0,906308	0,422618	2,144507
21	0,358368	0,93358	0,383864		66	0,913545	0,406737	2,246037
22	0,374607	0,927184	0,404026		67	0,920505	0,390731	2,355852
23	0,390731	0,920505	0,424475		68	0,927184	0,374607	2,475087
24	0,406737	0,913545	0,445229		69	0,93358	0,358368	2,605089
25	0,422618	0,906308	0,466308		70	0,939693	0,34202	2,747477
26	0,438371	0,898794	0,487733		71	0,945519	0,325568	2,904211
27	0,45399	0,891007	0,509525		72	0,951057	0,309017	3,077684
28	0,469472	0,882948	0,531709		73	0,956305	0,292372	3,270853
29	0,48481	0,87462	0,554309		74	0,961262	0,275637	3,487414
30	0,5	0,866025	0,57735		75	0,965926	0,258819	3,732051
31	0,515038	0,857167	0,600861		76	0,970296	0,241922	4,010781
32	0,529919	0,848048	0,624869		77	0,97437	0,224951	4,331476
33	0,544639	0,838671	0,649408		78	0,978148	0,207912	4,70463
34	0,559193	0,829038	0,674509		79	0,981627	0,190809	5,144554
35	0,573576	0,819152	0,700208		80	0,984808	0,173648	5,671282
36	0,587785	0,809017	0,726543		81	0,987688	0,156434	6,313752
37	0,601815	0,798636	0,753554		82	0,990268	0,139173	7,11537
38	0,615661	0,788011	0,781286		83	0,992546	0,121869	8,144346
39	0,62932	0,777146	0,809784		84	0,994522	0,104528	9,514364
40	0,642788	0,766044	0,8391		85	0,996195	0,087156	11,43005
41	0,656059	0,75471	0,869287		86	0,997564	0,069756	14,30067
42	0,669131	0,743145	0,900404		87	0,99863	0,052336	19,08114
43	0,681998	0,731354	0,932515		88	0,999391	0,034899	28,63625
44	0,694658	0,71934	0,965689		89	0,999848	0,017452	57,28996
45	0,707107	0,707107	1		90	1

Saiba também: Secante, cossecante e cotangente

Exercícios resolvidos

Questão 1 -  Determine o valor de x e y no triângulo a seguir.

Solução:

Veja no triângulo que o ângulo dado foi de 30°. Observando ainda o triângulo, temos que o lado que mede x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e o lado que mede y é o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Assim, devemos buscar uma razão trigonométrica que relacione o que procuramos com que é dado (hipotenusa). Logo:

sen 30° =   Cateto oposto
                    Hipotenusa 

cos 30° =   Cateto adjacente
                      Hipotenusa    

Determinado o valor de x:

sen 30° =  Cateto oposto
                            Hipotenusa        

sen 30° =  x
                  2

Olhando na tabela, temos que:

sen 30° = 1
                 2

Substituindo na equação, teremos:

1 = x
2    2

x = 1

De modo análogo, consideraremos

Assim: 

Cos 30° = √3
                  2

cos 30° =   Cateto adjacente
                       Hipotenusa

cos 30° = Y
                     2     

√3 = Y
 2     2

y = √3

Questão 2 – (PUC-SP) Qual é o valor de x na figura seguinte?

Solução:

Visualizando o triângulo maior, observe que y é oposto ao ângulo de 30° e que 40 é a hipotenusa, ou seja, podemos usar a razão trigonométrica seno.

sen 30° = Y
               40

    1   =  Y
     2      40

    2 y = 40
     y = 20

Olhando agora para o triângulo menor, veja que temos o valor do cateto oposto e buscamos o valor de x, que é o cateto adjacente. A relação trigonométrica que envolve esses dois catetos é a tangente. Assim:

tg 60°  = 20
               x

√3= 20
       x

√3 x = 20

x = 20  ·  √3
     √3     √3

x = 20√3
       3